פרק 4: שאלות חקר.

הקשר בין היקף ושטח

 

 

נניח שתלמידה ניגשת אליך בהתרגשות, ומספרת על חוק חדש שגילתה: ככל שהיקפו של מלבן גדול יותר, כך גדול יותר גם שטחו. היא נותנת דוגמא: מלבן שצלעותיו 4 ס"מ ו – 4 ס"מ היקפו 16 ס"מ, ושטחו 16 סמ"ר. מלבן שצלעותיו 4 ו – 8 היקפו 24, ושטחו 32.

 

ליפינג מה שאלה את המורים האמריקאים והסינים כיצד יגיבו לתגלית זו של התלמידה.

 

התגובות הראשוניות היו דומות. לרובם זו הייתה תיאוריה חדשה. אחוז דומה של המורים האמריקאים והסינים קיבלו אותה מייד כנכונה. אבל מכאן ואילך היו התגובות שונות: האסטרטגיות לבחינה של התיאוריה היו שונות, התוצאות של הבחינה היו שונות, וכן היו שונות תשובותיהם לתלמידה.

 

 

 

1.      אצל המורים האמריקאים

 

א.    בדיקת הרעיון החדש

 

שניים מתוך 23 המורים האמריקאים קיבלו את הרעיון החדש כנכון, בלי בדיקה. 21 חשדו שהרעיון נכון, ומתוכם 5 רצו להיעזר בספרים לצורך בדיקת הרעיון. מתוך ה – 5 אצל 4 הדבר היה משום שלא זכרו את הנוסחאות לחישוב שטח והיקף. מורה אחת זכרה, אבל אמרה שאינה מבינה את הנימוק שמאחורי הנוסחאות, ובכדי להסביר לתלמידה מה לעשות היא זקוקה להסבר מפי סמכות או מתוך ספר.

 

11 מורים אמריקאים אמרו שצריך לבדוק עוד דוגמאות. ליפינג מה קיבלה את הרושם שהם סברו שבדיקת מספיק דוגמאות תוכל להוכיח את הטענה, לא הייתה להם התובנה ששום מספר סופי של דוגמאות לא יספיק להוכחה.

 

מספר מורים ניגשו לבעיה עם תובנה מתמטית. אחד, למשל, אמר שיסביר לתלמידה מדוע הדוגמא שלה עובדת (היא הגדילה צד אחד, ולא שינתה צד שני). אבל הוא לא הגיע לדוגמא נגדית. מורה אחת הבינה שלצורך דוגמא נגדית כדאי לקחת מלבן צר וארוך. רק מורה אחת הגיעה לדוגמא נגדית (אכן, מלבן צר מאוד וארוך מאוד, בדוגמא שלה בעל צלעות 2 ו – 16, שיש לו היקף גדול יותר מזה של מלבן של 4 על 8, עם אותו שטח.)

 

 

ב.     תגובה לתלמידה

 

החוקרים מונים שלוש תגובות אפשריות לרעיון חדש שמעלה תלמיד:

 

א.    לנסות להניא אותו מלעסוק במופלא ממנו (מה שאינו בתוכנית הלימודים)

ב.     לנסות לענות בעצמך על השאלה

ג.       לעודד את התלמיד לחקור בעצמו את השאלה.

 

16 מתוך המורים האמריקאים בחרו באפשרות השלישית. אולם לרובם לא היו הכלים להדריך את התלמידה בכיוון הנכון. הם אמרו למשל שיעודדו אותה לפנות לספר בכדי לחקור את הנושא. חלקם היו מבקשים מן התלמידה לבדוק עוד דוגמאות. לא הייתה בהצעתם שיטתיות, ולא התובנה המתמטית שלצורך הוכחה לא מספיקות דוגמאות.

 

8 מורים אמרו שהיו חוקרים את השאלה בעצמם.

 

מרבית המורים אמרו שהיו מעודדים את התלמידה ומברכים אותה על הרעיון החדש שהעלתה.

 

 

2.      המורים הסינים

 

כמו אצל האמריקאים, ובאותה פרופורציה, היו מורים סינים שקיבלו את הטענה כנכונה בלי לבדוק אותה.

 

אצל השאר, אלו שניסו לבדוק, היה ההבדל העיקרי מן האמריקאים זה שרבים גילו עניין בנושא עצמו, לא רק בשאלה אם התיאוריה החדשה נכונה או לא. כלומר, הם התעניינו באמת בקשר בין היקף ושטח.

 

הבדל שני הוא שרוב המורים הסינים ניסו לחקור בעצמם את השאלה. אף אחד מהם לא אמר שייעזר בספר. אצל האמריקאים היו רבים שאמרו לבסוף שאינם בטוחים. אף אחד מן הסינים לא טען כך (משום שכל אלה שחשדו באי נכונות חקרו את השאלה עד שהגיעו לתשובה שהניחה את דעתם). כ – 22% מן המורים הסינים ניסו לחשוב על הבעיה והגיעו לתשובה שגויה, ו -  70% לתשובה נכונה. (כאמור, היו 8% שהניחו שהתיאוריה נכונה, ולא בדקו אותה).

 

הבדל שלישי היה שליטה טובה יותר במושגי השטח וההיקף.

 

א.    הוכחות לא נכונות

 

16 מבין 72 המורים הסינים טענו שהתיאוריה של התלמידה נכונה. אולם בניגוד לאמריקאים, הם לא אמרו שאפשר לעשות זאת על ידי דוגמאות, אלא ניסו כולם להוכיח זאת. ההוכחות הלא נכונות הסתמכו ברובן על אותה הנחה של התלמידה: שההיקף גדל על ידי הגדלת אחד מאורכי הצלעות, כאשר השני נשאר קבוע או גדל אף הוא.

 

ב.     הפרכת הרעיון

 

14 מבין המורים הסינים מצאו דוגמא נגדית. זוהי מה שליפינג מה קוראת רמה ראשונה של הבנה של ההפרכה – פשוט למצוא דוגמא. 8 מורים התעמקו יותר, וחקרו את האפשרויות השונות של מה קורה לשטח כאשר מגדילים את ההיקף (כלומר, נתנו דוגמאות שהכל יכול לקרות, השטח יכול לגדול, לקטון או להישאר אותו). השאר ניתחו את הקשר יותר לעומק: הם הסבירו שההיקף יכול לגדול בשלוש דרכים: או ששתי הצלעות גדלות, או אחת גדלה והשנייה נשארת אותה (כמו בדוגמא של התלמידה), והאפשרות השלישית היא שצלע אחת גדלה, השנייה קטנה. מורים אלו דנו בתנאים שבהם התלמידה צודקת (כאשר אחת משתי האפשרויות הראשונות קורה), ומתי היא אינה צודקת בהכרח.

 

היו אפילו שני מורים שגילו תובנה מתמטית אמיתית: בהינתן היקף קבוע, אפשר לראות (אם לא עם הוכחה כי אז לפחות על ידי ניסוי) שככל ששתי הצלעות קרובות זו לזו השטח גדול יותר. ומכאן שדוגמא נגדית תהיה כאשר הצלעות שונות זו מזו ככל האפשר (כלומר, כאשר המלבן צר וארוך).

 

 

 

3. כוונה ואסטרטגיה

 

על פי תחושתה של ליפינג מה הבדל ראשוני בין המורים האמריקאים והסינים הוא ביחס למתמטיקה: האמריקאים מתייחסים אליה בדרכם של לא מקצוענים (laypeople). הם מניחים מראש שלא יידעו להתמודד עם הבעיה, ולכן אינם מנסים. למשל, הם סבורים שיזדקקו לספרים בכדי להשיב. הסינים חושבים על עצמם כעל אנשי מקצוע, שיכולים להתמודד עם בעיות חקר.

 

אם כן, הגורם הראשוני הוא כוונה לחקור. זו מותנית בשני דברים – עניין בבעיה וביטחון עצמי. בשניהם עלו המורים הסינים על האמריקאים.

 

הביטחון העצמי בנוי על ידיעת החומר (במקרה זה ידיעת הנוסחאות להיקף ולשטח; ידיעת חוק הפילוג גם היא רלבנטית כאן וכמה מורים השתמשו בה) ועל הכרת העקרונות המתמטיים הבסיסיים (הצורך בהוכחה, בחינת כל צד של גרירה לוגית מן הסוג "אם א' אז ב' ", כלומר בחינת האפשרויות של הדרכים בהן א' נכון ובדומה לגבי ב').

 

האסטרטגיה לפתרון בעיה מתחילה מהיכרות עם מהי גרירה, מהי הוכחה ומהי דוגמא נגדית. כל אלה משמעם חשיבה בדרך מתמטית. המורים הסינים עולים בכך בהרבה על עמיתיהם האמריקאים.

 

 

4. התגובה לתלמיד

 

כאן היה הבדל משמעותי בין הסינים והאמריקאים: מרבית המורים האמריקאים אמרו שהיו משבחים את התלמידה על העזתה להעלות רעיון חדש. הסינים עירבו בשבח גם ביקורת והדרכה.

 

הנה כמה מובאות מדבריו של מורה סינית:

 

ראשית, הייתי משבחת אותה, על החשיבה העצמאית שלה. אבל אז הייתי מובילה אותה להבין את הבעייתיות בטענה שלה. ראשית, הייתי מבקשת ממנה הסבר לטענה. הייתי מראה לה בציור את התוספת לשטח במלבן הגדול יותר, ואז הייתי אומרת לה שבדוגמא שלה אחת הצלעות גדלה, והשנייה נשארה אותה. האם חשבת על עוד מקרים שבהם ההיקף גדל? האם חשבת מה קורה במצבים האחרים?… להוכחת טענתך עלייך להראות שהיא נכונה בכל המקרים. היא בוודאי תגלה שאם שתי הצלעות גדלות, או אחת גדלה והשנייה נשארת אותה, השטח באמת גדל. … אם היא לא תחשוב על דוגמאות בעצמה, אספק לה דוגמאות… בקיצור אעודד אותה לחקור את הבעיה בעצמה, ואספק לה עזרה כל פעם שתזדקק לה.

 

תגובה זאת הייתה טיפוסית למדי. רבים אמרו שהיו מחלקים למקרים – מה קורה כאשר הרוחב גדל, האורך נשאר אות? מה קורה כאשר  האורך גדל, הרוחב נשאר אותו? היו גם מי שאמרו שהיו נותנים לתלמידה בעיית חקר – בהינתן היקף של מלבן, מהם אורכי הצלעות שייתנו שטח מקסימלי?

[שאלה שאפשר לשאול ילדים בכיתות ג' והלאה: לרועה ניתן חבל באורך 40 מטרים. הוא רוצה לבנות מכלאה מלבנים לכבשים שלו, שתכיל מספר גדול ביותר של כבשים. מה יהיו ממדי המכלאה? הם יגלו זאת די בקלות. יהיו כאלו שינחשו את התשובה גם כאשר צורת המכלאה אינה דווקא מלבן, כלומר יגלו שמבין כל הצורות האפשריות כדאי לקחת מעגל.]

 

המורים האמריקאים, לעומת זאת, הסתפקו בשבח כללי. הם לא נטלו על עצמם תפקיד של מדריך. הסיבה העיקרית היא שהם לא חשו עצמם מסוגלים לכך, משום שהם עצמם לא ידעו כיצד להתמודד עם הבעיה.

 

 

5. הסיבות להבדלים

 

המורים הסינים התבטאו היטב בהרבה מעמיתיהם האמריקאים בראיונות. הם דיברו בצורה מאורגנת, והיה להם מושג איך לבנות הן את החקר והן את התגובה לתלמיד.

 

אחד ההסברים שליפינג מה נותנת לכך הוא ההוראה על דרך ההרצאה. שלב ה-"הקנייה" של מושג חדש או מיומנות חדשה נעשה על דרך ההרצאה, הצגה מלאה של הנושא.

 

ההסבר השני הוא הטמעת התרבות המתמטית. המורים הסינים לא למדו מתמטיקה גבוהה. אבל הם חושבים כמתמטיקאים, מבחינה זו שהם יודעים מה משמעותו של טיעון מתמטי.

 

ואולי יש בזה הבדל עמוק יותר, בדרך בה רואה המורה את תפקידו בכיתה: המורה הסיני רואה עצמו יותר כמנהיג מן המורה האמריקאי. מעמדו בכיתה אחר, עם יתר סמכות.