גלים מעבר לאוקיינוס בחינוך המתמטי

במאמר זה יסופר כיצד הגיעו לישראל גלים משתי סערות שטלטלו את החינוך המתמטי היסודי בארצות הברית, ומה הייתה השפעתם כאן. בשני המקרים מדובר ברעיונות שהגיעו לארץ בהשהיה של כעשר עד חמש עשרה שנים, לאחר שכבר הוכח כישלונם בארץ מוצאם.

 

מטרתו של המאמר היא לפזר מעט מן הערפל סביב המצב בחינוך המתמטי היסודי בארץ, ולספק את המושגים הנחוצים לדיון ציבורי בו, שאני מקווה שייערך. ללא ידע אלמנטרי נדונים ויכוחים להסתובב במעגלים. אין כוונה לאמור את המילה האחרונה: המאמר אמור לשמש כבסיס לדיון ולתיקונים בידי אחרים. אולם מישהו חייב להניח את האבן הראשונה!

 

לשם כך אפתח בסיכום מאמרו של Tom Loveless , ממכון ברוקינגס בוושינגטון, "סיפורן של שתי רפורמות". המאמר מתאר את תולדותיהן של שתי הרפורמות שהתרחשו בארצות הברית, האחת בשנות השישים והשניה בשנות התשעים. אמשיך במילון מושגים קצר, למי שאינם בקיאים (ולפי ניסיוני, אפילו מורים אינם מכירים את התמונה במלואה). לבסוף אספר על ההדים משתי הרפורמות האמריקאיות שהגיעו לארץ.

 

 

חלק א': סיפורן של הרפורמות בארצות הברית

 

זהו סיכום של מאמרו של Tom Loveless,

"A Tale of Two Math Reforms, The Politics of the New Math and the NCTM Standards"

מאמרו של לובלס סוקר את תולדותיהן של שתי תנועות מחדשות בחינוך המתמטי בארצות הברית: ה - New Math  משנות החמישים והשישים, והסטנדרטים של ה - NCTM (ארגון מורי המתמטיקה) משנות התשעים. לשתיים יש קווים משותפים ברורים: הן באו לעולם בקול תרועה כמי שעתידות להביא את בשורת המתמטיקה המתקדמת להמוני תלמידים. שתיהן התבררו תוך פחות מעשור כבעייתיות מאוד. המאמר מנסה לברר כיצד הגיעו לעולם, ומה היו הסיבות לנפילתן. הוא בוחן את מאבקי הכוח, את האירועים שזירזו אותן ואת כישלונותיהן מבחינת התכנים.

 

רעיונות ה - New Math נבטו כבר בתחילת שנות החמישים, אבל זורזו על ידי הפאניקה שאחזה בארצות הברית עם שיגור הספוטניק ב - 1957. הרעיון, שנתמך בידי מתמטיקאים (אף כי היו גם מתמטיקאים שהתנגדו לו) היה להגיע להבנה מופשטת ופורמלית בגיל רך. הומלץ על שימוש במודלים, אולם אלה אמורים לשמש לא להמחשה אלא להדגמה, כלומר לעבודה במנותק מן המושגים המקוריים, כאשר החזרה למושגים המקוריים נעשית רק בשלב מאוחר יותר. הדוגמא הקלאסית - הבדידים, שהיו פופולריים בשנות ה - 60. בהקדמה לספר על ה- New Math   כתב סרג'נט שריבר, ראש "חיל השלום": "...תלמידים לא יתחילו בהתחלה, אלא ברמה שמגיעים אליה אחרי שנות לימוד ומחקר".

 

שנים מועטות אחרי שהוכנסה השיטה החלו להגיע ידיעות על כישלונות. למשל, על תלמידים שלא ידעו לכפול מספרים קטנים. מורים התלוננו שהם מלמדים בסיס 7 כאשר הילדים אינם יודעים לחשב בשיטה העשרונית. לקראת תחילה שנות ה -70 ירדו ציוני התלמידים במבחני הכניסה לאוניברסיטאות. ב - 1973 פרסם מוריס קליין ספר בשם "מדוע ג'וני אינו יודע לחבר". טום לרר כתב שיר על הילדים היודעים ש - 3+2=2+3 אבל לא יודעים כמה זה. לקראת סוף שנות השבעים גוועה השיטה למות.

 

אם את ה - New Math  זירז הספוטניק, את הסטנדרטים זירז החשש מפיגור בתחרותיות כלכלית. במקרה זה היו היוזמים אנשי מחקר החינוך ומורים. כבר ב - 1980 הוציא ארגון מורי המתמטיקה מסמך שנקרא "תוכנית פעולה", בו קראו להדגשת פתרון בעיות (חקר) במקום תרגול. המסמך המליץ על לימוד בקבוצות קטנות, ועל הכנסת מחשבים מגיל רך. נשיאת הארגון, שירלי היל, טענה שהגיע הזמן למעבר מדגש על חישוב מסורתי לשימוש ביתרונות שמספק לנו המחשב.

 

המסמך לא זכה לתהודה, וארגון המורים החליט על צעד חכם - לא לקרוא לעקרונות החדשים "תוכנית לימודים" אלא "סטנדרטים", שם פחות מחייב ומאיים. וכמו במקרה של ה - New Math הזרז הסופי הייתה התערבות של הממשל - הם הוכרזו ב - 1989 בפגישה בין הנשיא בוש האב לבין מושלי מדינות, והתקבלו בתשואות.

 

כמו ה - New Math, הסטנדרטים תומכים בגישה התנסותית (hands on). אלא שבעוד ש ה - New Mathבוחר מן המשולש מבנה-בעיות-טכניקה שעליו (כדברי המתמטיקאי ריצ'רד אסקי) מושתתת המתמטיקה את המבנה, הסטנדרטים שמים את הדגש על החקר.

 

צד משותף בין הסטנדרטים וה - New Math הוא הזלזול בתרגול ובמיומנות. חישובים מספריים מוזכרים כאחד הסטנדרטים האחרונים בחשיבותם לילדים מן הגן עד כיתה ד' - מקום 8 מתוך 13. בתיאור של הסטנדרט הזה מזהירים מפני הקדשת יתר זמן אליו, שמא הדבר יבוא על חשבון מתמטיקה "יותר חשובה".  הסטנדרטים ממליצים על "שימוש במחשבון לפתרון בעיות, במקום חישובים מיגעים" -וזכרו, מדובר בגיל הרך! בכיתות ה' -ח' הדבר מודגש עוד יותר. ברשימת הנושאים שמומלץ להקדיש להם פחות תשומת לב הפריטים הראשונים הם: שינון חוקים ואלגוריתמים, תרגול חישובים מיגעים, ומציאת צורות מדויקות לתשובות.

 

במשך מספר שנים נחשבו הסטנדרטים לציון דרך בהוראת המתמטיקה. אלא שגם במקרה הזה התמוטט הקונצנזוס תוך זמן קצר. בקליפורניה, שבה הוכנסו לפועל באורח המעמיק ביותר, ירדו הישגי התלמידים מתחת כמעט לכל מדינה אחרת בארצות הברית. כמאתיים מתמטיקאים מובילים יצאו בעצומה כנגד הגישה, שהתפרסמה בעיתונים מרכזיים. גם קבוצות עסקיות, שתמכו בה מתחילה, משכו את ידיהן. מלחמות המתמטיקה החלו.

 

אתרי אינטרנט של הורים נזעמים הוקמו להילחם בגישה, המפורסם ביניהם MathematicallyCorrect. מכתבים מלעיגים נכתבו. מחקר מצא שתלמידי קולג' שלמדו לפי השיטה החדשה הצליחו פחות מחבריהם. בקולורדו תבעו הורים בשלושה בתי ספר שימוש בספרים בגישה הישנה, עם דגש על מיומנויות, והישגי התלמידים בשלושת בתי הספר האלה עלו בהרבה על הממוצע באותו אזור.

 

*

 

הסיבה העיקרית לכישלונן של  שתי הרפורמות היה הזלזול בתירגול ובשלבים ההיררכיים של רכישת מיומנויות. מחקרים רבים מראים ששינון ותרגול חיוניים לפיתוח מיומנות, ושבניגוד לדברי סרג'נט שריבר אין מנוס מלהתחיל בהתחלה.

 

 

 

חלק ב': מילון מושגים

 

"מתמטיקה חדשה" (New Math): גישה להוראת החשבון שפותחה בארצות הברית בשנות החמישים והשישים. השתלטותה על הוראת המתמטיקה בארצות הברית זורזה על ידי הפאניקה שאחזה באמריקאים לאחר שיגור ה-"ספוטניק" הרוסי. הרעיון הבסיסי שלה הוא ללמד מושגים מופשטים מגיל צעיר. היא מדגישה את הצד הפורמלי של המתמטיקה, למשל - חוקי החילוף והקיבוץ. לקראת סוף שנות השישים התברר שהשיטה לא העלתה את הישגי התלמידים אלא להפך, ולקראת סוף שנות השבעים נזנחה בארצות הברית לגמרי.

 

"חזרה לבסיס" (Back to basics)  : תנועה נגדית ל - New Math, משנות ה - 70, שקראה לחזור להוראת העקרונות הפשוטים.

 

בדידים (Cuisenaire rods)  : עזרים ללימוד פעולות החשבון, שהיו פופולריים בשנות השישים. בארץ הם חלק מן השיטה התבניתית (ראה להלן), ומתוקף זה הם נהוגים במרבית בתי הספר עד היום. אלו הם כפיסים המתאימים למספרים. אורכו של הבדיד פרופורציוני למספר שהוא מייצג. לכל בדיד יש צבע משלו. הילד אמור ללמוד דרכם את פעולות החשבון. בכדי לחבר שני מספרים מציבים את הבדידים המתאימים זה ליד זה, ומוצאים מיהו הבדיד המתאים ל-"תבנית", כלומר שאורכו מתאים למה שהתקבל. כך גם מלמדים חיסור, ואף כפל וחילוק.

 

גישה תבניתית:

שיטת הוראה שהוכנסה לחינוך היסודי בישראל בשנות השבעים והשתלטה עליו תוך זמן קצר ביותר. מיושמת בספרי "אחת שתיים ושלוש" וכן - "ועוד אחת". ביסודה היא מושתתת על רעיונות מתוך ה-New Math: פורמליות ולימוד רעיונות בצורה הכללית ביותר האפשרית. היא לקחה מן ה - New Math אלמנטים כמו הבדידים ושיטות בסיס לא עשרוניות (שבהן הספרות אינן מונות עשרות, מאות, אלפים וכולי, אלא חזקות של מספר מסוים, הקרוי "בסיס". במקרה של "אחת שתיים ושלוש" מדובר בבסיס 3). רעיון מוביל בה הוא שימוש בעזרים קונקרטיים, שמשמשים כ-"עולם הדגמה". רעיון הבדידים פותח בה מעבר לכל מה שנעשה ב - New Math, עם עזרים דמויי בדידים רבים נוספים.

 

הסטנדרטים של ה - NCTM :

מסמך שפורסם על ידי ארגון מורי המתמטיקה ( ה - National Council of Teachers of Mathematics ) האמריקאי ב - 1989, כמורה דרך להוראת המתמטיקה מן הגן עד לבית הספר התיכון. בתחילה התקבל בתשבחות על ידי הכל, עד שהתבררו כישלונות בתי הספר שהלכו בעקבותיו. הסטנדרטים אינם נושאי לימוד, אלא גישה. בבסיסה - גישת החקר. היא ממליצה להדגיש בכל נושא את דרכי החשיבה שהוא אמור לפתח, כמו היכולת לשער השערות ולנתח נתונים. בין השאר הם ממליצים על שימוש נרחב במחשבון, על חשבון לימוד אלגוריתמים של כפל וחילוק.

 

קונסטרוקטיביזם (גם - חקר): גישה המעודדת את בניית הידע בידי התלמיד, במקום שילמד אותו מן המורה. דרכים אחרות לניסוח העיקרון: המורה אינו מכוון אלא מלווה, לימוד מתוך התנסות, גילוי חוקיות בכוחות עצמך, יש יותר מפתרון נכון אחד לכל בעיה, התלמידים הולכים בעקבות התעניינויותיהם והם אחראיים לתהליך הלימוד.

 

שימוש במחשבון: נושא למחלוקת מרה בין אנשי חינוך לבין (בעיקר) מתמטיקאים. הראשונים, ובמיוחד הקונסטרוקטיביסטים, תומכים בו, האחרונים מתנגדים נחרצים. בעיני הראשונים מיומנות בחישוב היא משנית, בעוד שהמחשבון מקל על חקר. המתמטיקאים, לעומתם, טוענים ששימוש במחשבון גורם לאיבוד התחושה למספרים, ושאת החוקיות בתופעות מגלה המוח בעצמו בבלי דעת, תוך כדי פעולת החישוב.

 

מלחמות המתמטיקה: כינוי למאבקים שהחלו בארצות הברית לקראת אמצע שנות התשעים בעקבות הנהגת הסטנדרטים של ה - NCTM. הן נערכו בין תומכי הרפורמה, ברובם חוקרי חינוך ואנשי אדמיניסטרציה, לבין מתנגדיה, ברובם מתמטיקאים והורים.

 

 

 

חלק ג': יבוא של רפורמות

 

 

אחת הבעיות עם מערכת החינוך בארץ היא שהיא קטנה. אנשי משרד החינוך נוטים לסמוך על הפקולטות לחינוך (או הוראת המדעים) לקביעת מדיניות. חוקרי החינוך בארץ הם מועטים ביחס, ומטבע הדברים הוא שהם קשורים איש ברעהו בדרכים שונות, מה שמקשה על הבעת דעות בלתי תלויות. כך יוצא שמספר האנשים הקובעים את מדיניות החינוך בארץ אינו גדול, ואין מספיק מנגנונים לביקורת ולמשוב.

 

ייתכן שזוהי אחת הסיבות לכך שהרפורמות מיובאות לארץ מן החוץ. ליתר דיוק - מארצות הברית. המוזר הוא שהן מגיעות לאחר שכבר נכשלו שם כישלון חרוץ. כך קרה עם  שיטת "השפה כמכלול" להוראת הקריאה, וכך קרה עם שתי הרפורמות בחשבון. כפי שמציינים Ellerton     ו -  Clements  במאמר על מגמות בינלאומיות במחקר בחינוך המתמטי  [EC], יש ליבוא המאוחר הסבר פשוט. הוא מגיע עם אנשי חינוך שלמדו את מקצועם או עשו תואר גבוה בארצות הברית. מטבע הדברים שהם לומדים את השיטה הנהוגה שם באותו זמן, ועד שהם מגיעים לארץ ומיישמים אותה כאן עובר זמן מספיק בכדי שיתגלו שם בעיותיה.

 

להלן אתאר את דרכן לארץ של שתי הרפורמות, ה - New Math והסטנדרטים.

 

 

הגישה התבניתית

 

השתקפותה של ה - New Math בארץ לבשה צורה מוזרה למדי - הגישה הקרויה כאן "תבניתית".  הרעיון הבסיסי הוא זה של "עולם הדגמה", שהבדידים הם הדוגמא הקלאסית שלו. עולם הדגמה הוא מודל נפרד מן האובייקט המקורי. התלמיד אמור להכיר את המודל, ומתוך כך ללמוד את החוקים הפועלים באובייקט המקורי.

 

עוד לקחה השיטה הזאת מן ה - New Math את העיקרון של לימוד הדברים בכלליותם הרבה ביותר. התירוץ הוא הימנעות מן הצורך ללמד דברים מחדש יותר מאוחר, כאשר מגיעים למושג הכללי. למשל, הגישה נטלה מן ה - New Math את עניין לימוד בסיס ספירה כללי עוד בכיתה ג'.

 

אלא שהגישה התבניתית כפי שפותחה בארץ מרחיקת לכת הרבה יותר מן המקור באדיקותה. אוסרים על התלמידים לספור באצבעות (מורות חוזרות ומספרות על תלמידים הסופרים באצבעותיהם בהסתר מתחת לשולחן). מאמץ רב נעשה למצוא עזרים לכל מושג ולכל עיקרון חשיבה. זנבגופים, תבניות כפל, סרגלי שברים. היא מלמדת כל דבר דרך "תבניות", וכך אין מלמדים את משמעות החיסור (5 פחות 3 פירושו שהיו לי 5 בלונים ו-3 התפוצצו) אלא שהחיסור הוא חיבור - 5-3=2  משום ש - 2+3=5. אין מלמדים גם את משמעות החילוק.

 

השיטה, כפי שמומשה בספרי "אחת שתיים ושלוש" ו - "ועוד אחת", השתלטה תוך זמן קצר ביותר על כל הוראת החשבון בארץ. בתחילת שנות השמונים כבר למדו לפיה רובם המכריע של התלמידים.

 

כיצד התרחש הדבר? לטענת בעלי השיטה, משום שהספרים היו טובים ולא היו להם למעשה מתחרים. לטענת אחרים התערב משרד החינוך בעניין באורח מסיבי. הוא הקצה כספים להשתלמויות מורים רק לתוכנית החדשה, ולחץ על בתי הספר לקבל אותה.

 

על כל פנים, התוצאה היא שכיום, בשנות האלפיים, לומדים מרבית תלמידי ישראל על פי חלקים משיטה שמקורה בארצות הברית בשנות הששים, והתבררה ככושלת כבר בשנות השבעים. לא זו בלבד, אלא שכאן פותחה בקיצוניות גדולה בהרבה.

 

כידוע, ירדו הישגיה של מדינת ישראל בחשבון בצורה חדה. מן המקום הראשון ב - 1964 למקום ה - 28 בין 38 מדינות בשנת 1999.

 

 

הסטנדרטים

 

גם הם מגיעים. אלא שבארץ זה לא בִּמְקוֹם, זה גם וגם. לפני כשלוש שנים מינה משרד החינוך וועדה לכתיבת תוכנית לימודים חדשה בחשבון לבתי הספר היסודיים. ההמלצות שלה לקוחות ברובן מן הסטנדרטים: הדגשת החקר; שימוש נרחב במחשבונים, וכן תוכנת Excel, החל מן הכיתות הנמוכות; הפחתה מסיבית בלימוד האלגוריתמים החשבוניים. לכך הוסיפה הוועדה תוספת משלה: קיצוץ דרסטי בהוראת השברים, למעשה דלדולה המוחלט. יילמדו רק שברים שהמכנה שלהם אינו עולה על 12 (פירושו המעשי של הדבר הוא הוראה רק של השברים המוכרים לילד מחיי היום-יום: חצאים, שלישים ורבעים.) לא יילמד כפל וחילוק שברים.

 

שלא כמו הסטנדרטים בארצות הברית, התוכנית לא הובאה לדיון ציבורי, בוודאי לא בין מתמטיקאים.

 

השאלה אם ילדי ישראל יידעו חשבון או לא אינו עניין לקלות דעת. חובה לעצור את התוכנית ולהעמידה לביקורת של אנשי חינוך ומדע.

 

 

מראי מקום

 

 

[EC] Nerida F. Ellerton and M.A (Ken) Clements, International trends in mathematics education research, 1996

 

[L] Tom Loveless,  A tale of two math reforms, presented in “Curriculm Wars: Alternative Approaches to Reading and Mathematics”, conference held in Harvard, October 1999.