ספרי "מתמטיקה יסודית"

פרופ' רון אהרוני

הקדמה

ספרי "מתמטיקה יסודית" הם תרגום של ספרי הלימוד של בתי-הספר היסודיים בסינגפור. אלה הם הספרים שנלמדו בסינגפור בתקופה שבה זכתה מספר פעמים רצופות במקום הראשון בעולם במבדקים הבינלאומיים (TIMSS), בהפרש ניכר לפני המדינות הבאות אחריה. איכותם של הספרים זוכה להכרה ברחבי העולם, וכיום מסתמנת תנועה רחבה בארצות הברית לשימוש בהם. הסכם שיתוף פעולה בתחום החינוך המתמטי נחתם לא מכבר בין ממשלת ארצות-הברית לממשלת סינגפור. מתוך אמונה בכוחם של ספרי סינגפור לפתח חשיבה מתמטית עמוקה ובסיסית, הם תורגמו לעברית בשם "מתמטיקה יסודית". התרגום נאמן למקור, ושומר על הגרפיקה הייחודית לו, תוך התאמה לעולמם של ילדים בישראל.

עקרונות מנחים

ספרי "מתמטיקה יסודית" מלמדים מתמטיקה ישירה ולא מתחכמת, על פי עקרונות דידאקטיים ומתמטיים פשוטים הבנויים על היגיון בריא. העיקריים ביניהם הם אלה:

1.    יציאה מן המוחשי

2.    מעבר דרך שלושה שלבים: מוחשי   ->   ציורי    ->   מופשט

3.    דגש על משמעות הפעולות

4.    העקרונות מגיעים מן הילד

5.    הימנעות מקיבוע

6.    דגש על עקרונות מתמטיים נכונים

7.    לימוד ספיראלי, הכולל חשיפה מוקדמת למושגים.

8.    דגש על שליטה בחישובים

נקודת המוצא היא במוחשי

הוראה, לא רק לילדים, חייבת לצאת מן המוחש. הפשטה מגיעה רק בשלב מאוחר יותר, באמצעות דוגמאות מן המציאות המְכַוונות אליה.   הנה מספר דוגמאות:

·                    מושג ה"מספר" נוצר ממניית עצמים בעולם. רק אחר כך הגיעה ההפשטה של המספר הטהור נטול הכינוי: כהפשטה מ – "4 תפוחים", "4 חתולים", "4 עפרונות" הומצא המספר "4". משום כך את לימוד מושג המספר יש לפתוח במנייה. ספרי "מתמטיקה יסודית" מונים, ומדגישים את הכינוי של העצמים הנמנים, לאורך כל בית- הספר היסודי.

·                    הקיבוץ לעשרות בשיטה העשרונית נלמד באורח מוחשי ביותר. הילדים לומדים, מתוך התנסות, את ארגון המספר בשיטה העשרונית, כלומר הקיבוץ לעשרות, ואחר כך למאות ולאלפים. הם מבינים את העיקרון שהמספר אינו מגיע לעולם מאורגן בצורה העשרונית, אלא אנחנו הם המארגנים אותו כך.

·                    ציורים גיאומטריים על דף הם תוצר של הפשטה. בחיים מופיעים גופים תלת-ממדיים, לא דו-ממדיים. לכן הספרים פותחים בהכרת גופים תלת-ממדיים ועוברים לדיון בצורות דו-ממדיות  שהן פאות הגופים התלת-ממדיים.

הוראה בשלושה שלבים

ההוראה נעשית בשלושה שלבים: מוחשי, ציורי, ולבסוף מופשט. עיקרון זה מוצהר במפורש בספרים, ומושם עליו דגש. למשל, לימוד השברים בכיתה א' מתחיל מהתנסות מוחשית, על ידי קיפול נייר, ואחר-כך מופיע השבר בתמונות, תחילה תמונות מציאותיות ולבסוף ציורים מופשטים.

דגש על משמעות הפעולות

"משמעות" של פעולה היא הקשר שלה למציאות.  למשל חיבור משמעו צירוף, חיסור משמעו הרחקה. החישוב הוא רק שלב שני, שבא אחרי הבנת המשמעות. בספרים מוצגות הפעולות תחילה במשמעותן. רק לאט ובהדרגה נכנסות שיטות החישוב.

העקרונות מגיעים מן הילד

חוקי החשבון מופיעים בספרי "מתמטיקה יסודית" ב"בועות" היוצאות מפיהם של ילדים. זהו אמצעי מחוכם וחביב, המבטא עיקרון חשוב: הלמידה נעשית מתוך הילד. מאותה סיבה, הילד עצמו נדרש לחבר סיפורים חשבוניים (הכוונה היא שלתרגיל כמו 4+3, למשל, יתאים סיפור דוגמת "ליוסי 3 תפוחים, לרינה 4 תפוחים, כמה תפוחים יש להם יחד?")  רק מהתנסות עצמית אפשר להגיע להפנמה אמיתית של משמעות הפעולות. 

הימנעות מקיבוע

רעיון מופשט צריך להיות מוצג באמצעות דוגמאות שונות המאפיינות אותו. דוגמאות אחידות מדי עלולות לגרום לבלבול בין הרעיון לבין הדוגמה. למשל,  עצמים הנמנים תמיד באותו סדר יוצרים קיבעון בין  מושג המספר לסידור מסוים; שברים המיוצגים תמיד כחלק של אותו שלם, למשל עיגול, יוצרים קיבעון במושג השבר.

ספרי "מתמטיקה יסודית" עושים מאמץ מודע להימנע מקיבוע. למשל, האיסוף לעשרות נעשה בדרכים שונות ומגוונות; השלם בשברים נלקח, החל מכיתה א', כריבוע, כעיגול, כמלבן, כתפוז אמיתי. הילד רואה שאפשר ליצור חצי מריבוע  בדרכים רבות. 

עקרונות מתמטיים נכונים

ספרי "מתמטיקה יסודית" מצטיינים בהבנה מתמטית עמוקה. הדברים מוצגים על פי סדר נכון, ובלי דילוג על שלבים.

הנה דוגמה להבנה שכזו: הפעם הראשונה בה מוצגת בספרים השיטה העשרונית. הילד מגיע מן הגן עם תפיסה מעורפלת של השיטה העשרונית. הוא יודע שכאשר מגיעים לעשר מתחילים לספור מחדש: "אחת עשרה, שתים עשרה, שלוש עשרה..." במעומעם הוא מבין שה- "עֶשרֶה" משמעו שנאספה עשרת, ושמתחילים למנות מחדש. הספרים מתחילים בדיוק בנקודה זו, ונותנים לה ניסוח מפורש. בתמונה מוצגת תבנית ביצים עם עשר ביצים, ולידה ביצים בודדות, וילד מונה: "אחת עשרה, שתים עשרה, שלוש עשרה...".

דוגמה נוספת: כבר בכיתה א' מלמדים ספרי "מתמטיקה יסודית" שלחילוק יש שתי משמעויות שונות, חילוק לחלקים וחילוק להכלה. מעבר לכך שההבחנה הזאת נחוצה להבנה עמוקה של החילוק, היא מפתחת את ההבחנה בדקויות של משמעות.

ספיראליות וחשיפה מוקדמת למושגים

ספרי "מתמטיקה יסודית" חוזרים לכל מושג פעמים רבות, כל פעם ברמה גבוהה יותר. עיקרון נוסף הוא לנסות לחשוף את הילד למושגים מוקדם ככל האפשר, כדי להוסיף זמן הדגרה פורה בהבנת המושגים. כך, למשל, לומדים כבר בכיתה א' חילוק ושברים, ברמה אינטואיטיבית. בכיתה ב' יופיעו אותם מושגים בצורה מעט יותר מופשטת וכללית.

אחת התוצאות של הגישה הזאת היא שהמושגים שאליהם מגיעים בסוף כיתה ו' מתקדמים בהרבה ממה שמגיעים אליו בארץ כיום, והבנתם עמוקה יותר.

ביצוע החישובים ושליטה בהם

ביצוע חישובים של פעולות החשבון משמעו הבנה עמוקה של השיטה העשרונית. גם ההפך נכון: הבנה של השיטה העשרונית מחייבת יכולת חישוב. לכן מושם בספרים דגש על מיומנויות חישוביות.

הגרפיקה

עבודה רבה ומחשבה עמוקה הושקעו בגרפיקה של הספרים. מעבר להיותה אסתטית, היא יוצאת מעולמו של הילד, ומנסה להדגים את העקרונות בצורה המוחשית ביותר.

נושאי הלימוד

ספרי "מתמטיקה יסודית" מגיעים הרחק יותר בחומר הלימודים ובעומק הבנתו מאשר הספרים המקובלים בארץ כיום.   

במיוחד חזקים הספרים בהקניית משמעות הפעולות, בשיטה העשרונית, בשברים ובבעיות יחס.

אנו מקווים שהכנסת ספרי "מתמטיקה יסודית" לבתי-הספר היסודיים בארץ תהיה שלב ראשון בהחזרת עטרת החינוך המתמטי הישראלי ליושנה.